美国应用数学家、石溪大学教授Allen 于2023年12月28日去世，他在自动控制、计算机视觉和医学图像领域做出了杰出贡献。本文是其同事顾险峰教授所作纪念文章，主要介绍他基于最优传输理论的图像注册方法。
撰文 | 顾险峰
2023年12月28日，笔者的同事Allen 博士因病医治无效，在纽约长岛逝世，享年70岁。Allen患有癌症，在Covid之后，身体状况一直不稳定，近期急剧恶化。他在自动控制、计算机视觉和医学图像领域都做出了杰出贡献，尤其在医学图像领域，堪称是泰斗级的科学家。
Allen于1976年在哈佛大学获得数学博士学位，师从菲尔兹奖得主广中平佑（ ），研究领域为代数几何。毕业后，他一直在应用数学领域从事研究工作。Allen早期的工作主要是基于复分析中的-Pick复插值理论来研究自动控制问题，他的主要突破是用椭圆曲线技巧证明了定义在多项式环上的系统中极点配置问题。后来，Allen应用偏微分方程理论来研究计算机视觉和医学图像问题，比较著名的工作包括他和 发明的基于仿射不变热方程理论的图像增强算法；他和 Haker与 共同发明的基于最优传输的图像配准算法，等等。
笔者非常熟悉Allen的工作，曾经为Allen写过推荐信，帮助他转到石溪并且申请石溪计算机科学、应用数学和统计的杰出教授职位。笔者常常参加Allen的，与Allen深入探讨交流，也经常在自己的课上讲解Allen发明的各种算法。Allen的学术生涯非常成功，但是个人生活却并不顺利。Allen的儿子 患有脑瘤，Allen一直努力寻找各种方法来治疗，最终还是无法避免白发人送黑发人的悲剧。因此，笔者一直认为Allen为医学图像领域的研究倾尽了心血绝非为了名利，而是真正为了挽救生命。这里，笔者回顾一下Allen发明的基于最优传输理论的图像注册方法。
图像注册与最优传输
图像注册是医学图像领域中非常基本的问题之一，给定两张二维或者三维的
极分解定理
蒙日-安培方程强烈非线性，求解蒙日-安培方程是非常具有挑战性的问题。在2001年，Allen, Haker和基于极分解定理，独树一帜地提
AHT算法
图3显示了AHT算法得到的大脑MRI图像注册结果，我们可以看到这一算法给出了微分同胚。图4显示了三维大脑MRI图像的注册结果，这证实了AHT算法可以直接向高维推广。
图4. 基于最优传输的3D图像注册。
AHT算法的局限
Allen在2001年提出的求解最优传输问题的算法非常具有创意，迄今为止也是基于极分解理论的唯一算法，非常具有前瞻性。与传统的连续性方法求解蒙日-安培方程，或者基于几何变分法求解最优传输映射相比，AHT方法也是迭代法求解非线性蒙日安培方程，每一迭代步骤求解线性的椭圆型偏微分方程，这里是泊松方程。这种方法用流体力学方法，通过构造流场来计算微分同胚。各种限制条件都可以加入到流场中，因此在医学图像应用中非常灵活。
另一方面，目前AHT算法的理论证明依然缺失。在二维情形，AHT算法收敛于最优传输映射的理论证明已经完成；但是高维情形，这一算法的收敛性依然未知。主要困难在于，算法是收敛于全局最优还是局部最优，目前无法证
怀念
每次聚会，Allen都会讲很多笑话，见解独特，非常幽默风趣。但是私下里，Allen喜欢将办公室的门窗遮蔽起来，只留下一盏台灯，在黑暗中长时间的静默思考。每次Allen讲解算法或者理论，总能一针见血，言简意赅地指出问题关键。他的思想深邃独到，从不追波逐流，反而经常引领学术风潮。
Allen具有深厚的数学功底和敏锐深刻的洞察力，他能够将应用领域的基本问题提炼出数学本质，找到相应的现代数学理论，并且为抽象的理论发明出高效实用的计算方法，从而真正解决实际问题。Allen所发明的各种算法将会在工程和医疗领域中继续被发扬光大，造福人类。希望他的灵魂在天堂中得以安息。
本文转载自微信公众号“老顾谈几何”，原标题为《怀念Allen 博士》。
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